jueves, 16 de octubre de 2014

Arte y matemática

Entrevista a la profesora y escritora Isabel ORTEGA
 El siguiente texto corresponde a la emisión del 17 de abril de 2002 del programa 'Profesionales en el Arte' que se transmite por Radio Cultura FM de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, en Argentina y que conduce Gabriel Díaz todas las mañanas, de lunes a viernes, a las 9 en punto.

Gabriel Díaz: Nueve y cinco minutos. Muy buenos días. Vamos a empezar este programa con una frase. “Bebe vino. Largo tiempo pasarás bajo la tierra sin mujer y sin abrigo”. Esta frase pertenece a Omar Kayyam, conocido como el poeta del vino, pero además de poeta fue un excelente matemático. Y de eso nos va a hablar hoy Isabel Ortega, Profesora de Matemática y Cosmografía, y escritora.
Isabel Ortega: Hola Gabriel, ¿cómo te va?
GD: ¿Cómo te va Isabel? Estuve leyendo tu libro, La historia que vivieron los matemáticos: ¡espectacular!
IO: Gracias.
GD: Pero antes de hablar del libro, contanos un poquito de vos. Vos estás vinculando la matemática con el arte, tenés trabajos interesantes hechos en la materia, bueno, quisiera que nos contés un poquito.
IO: Te cuento un poquito. Mi carrera es básicamente docente, yo soy maestra, profesora de matemática, hice alguna otra cosa más en matemática superior, he metido la cuchara en todos los niveles de la escuela, tanto en jardín, como en primaria, he sido profe de secundaria, trabajé mucho en el profesorado formando docentes, en la universidad enseñando las matemáticas duras, y con el tiempo, como me he vinculado mucho con la enseñanza no formal, es decir, la enseñanza en bibliotecas populares, las clases particulares, las consultas de los docentes, eso ha dado como resultado que empecé a escribir cosas que vine encontrando. A medida que fui publicando, eso me fue vinculando, más y más, con la literatura, con el arte, con la pintura, y entonces empecé a encontrar muchas respuestas para enseñar matemática dentro de las áreas que no son específicamente científicas. Actualmente hago los juegos de la revista Billiken, si bien he trabajado bastante en lo que podría llamarse escolar: durante un par de años trabajé como editora de matemática en Kapelusz coordinando autores, tengo unos cuantos libros que tienen que ver con la escuela, pero lo que se nota generalmente en mis publicaciones es una cosa así poco ortodoxa, en el sentido de que apelo mucho al mundo que nos rodea para hacer matemática.
GD: Claro, eso hace que la lectura de tus libros sea muy sencilla. Vos hacés de la matemática algo muy natural; como si fuera un juego, y también me dijiste: “la matemática es un juego”.
IO: Claro. Bueno ahí hay dos cosas interesantes. Una es que básicamente, la matemática es un juego, filosóficamente es un juego. ¿Por qué? Porque la matemática se arma con reglas de juego que se van combinando con una lógica para llegar a conclusiones. Tan es así que podemos cambiar las reglas de juego y armar otra matemática. Esto sería para charlarlo largo y tendido pero es así. Eso por un lado, pero hay otra cosa que es importante y es que en realidad, cuando pensamos en nuestro chicos, incluso en nuestros docentes que tienen que lidiar con la matemática, estamos pensando en una matemática cotidiana, no una cosa muy abstracta, muy filosófica, sino en una cosa muy cotidiana. ¿A qué me refiero con esto? Uno tiene la idea de que las matemáticas mueven el mundo, es decir, la matemática tiene verdades que las necesitamos para que funcione el supermercado, para que funcionen los colectivos, las cosas de todos los días. Entonces, esa matemática que nosotros tenemos que enseñar y que aprender, tiene que tener que ver con las cosas de todos los días. Y creo que justamente el sentido que tiene que yo esté acá en tu programa hoy, específicamente, es en relación con el arte. Y la matemática, obviamente, tiene mucho que ver con el arte. Una primera aproximación que podríamos pensar es esto: muchos artistas han sido matemáticos y muchos matemáticos han sido artistas. Es más: la mayoría de los grande matemáticos tienen una veta artística: pintura, música, lo que fuere. Sin ir más lejos, ¿quién no conoce a Pitágoras? por ahí, medio dolorosamente porque recordamos el teorema de Pitágoras, aunque recordemos nada más que el nombre: “Teorema de Pitágoras”. Resulta que Pitágoras era matemático. Y Pitágoras pensaba que uno de los caminos a la iluminación (porque era místico) era la matemática, pero también lo era la música. O sea, él comprendía a la matemática ligada con la música y a la música ligada con la matemática. Podríamos pensar también en los pintores renacentistas: en Miguel Angel, en Durero, esta gente que buscó muchas respuestas en la matemática para poder tener herramientas de esas cosas que ellos percibían y que querían plasmar en una obra de arte, a través de, podríamos decir, una percepción visual, lo que ellos veían en proporciones y demás, bueno, apelaron a la matemática (y la desarrollaron, además) justamente para tener herramientas para hacer sus obras plásticas. O sea, que muchos matemáticos tienen una veta artística importante y muchos artistas han buscado herramientas en la matemática. Justamente hablábamos de, vos citabas los versos de Omar Kayyam...
GD: Omar Kayyam. Es Omar un poeta que si uno lo lee un poco, se aleja un poquito de la cultura musulmana ¿no?, porque era más bien dedicado a los placeres, una persona que tenía más bien esa orientación, no lo estricto de la religiosidad musulmana.
IO: Claro, claro. ¿Y cómo podríamos comprender el pensamiento matemático de Omar Kayyam? Omar Kayyam, básicamente, es un poeta. Un poeta muy importante de su época y de todas las épocas. Uno lo imagina a Omar Kayyam bebiendo vino, disfrutando de los placeres con mujeres y tratando de vivir su vida desde un punto de vista muy apasionado. entonces, ¿cómo comprender que haya sido el matemático árabe más importante? Y acá, si me permitís vamos a hacer un paréntesis porque hay gente que nos está escuchando y piensa la matemática, el arte y estas cosas y uno dice: a ver, pero un matemático, ¿qué, qué, cómo es un matemático? O sea, no pensamos mucho en la matemática porque la mayoría de la gente no tiene vocación para esto, pero pensar en cómo es un matemático es aún más desconcertante. Yo muchas veces en los talleres, en los encuentros con docentes, pregunto: ¿ a ver qué idea tienen ustedes de los matemáticos? Y generalmente sale una cosa así como, bueno, “un científico muy chiflado”, generalmente “muy asceta”, que “no se permite ningún placer”, “muy encerrado en un lugar donde no ve el mundo” y con sus números y sus calculadoras y demás. Y acá lo tenemos a Omar Kayyam que es todo lo contrario y resulta que es el matemático más importante de su momento. Entonces, el tema es así: Omar Kayyam, en toda esta cosa del placer y de tratar de encontrarle a la vida un sentido en el momento presente para potenciarlo y hacer algo importante con su vida (eso es lo que dio a la poesía como resultado), este hombre yo me lo imagino (esto es una licencia mía) absorto, de noche, mirando el cielo. En ese absorto, de noche, mirando el cielo, viene el tema de la Astronomía (que tan ligado a esta época está, la época de los árabes y todo eso). Para poder comprender la astronomía, necesariamente se necesita la matemática. Y creo que ese habrá sido el camino que siguió pero lo cierto es que fue más allá porque, bueno, se puso a calcular y se puso a demostrar teoremas y se puso a encontrar resultados. Quizá lo importante sería pensar ¿qué habrá encontrado Omar Kayyam en la matemática, no?, ¿qué es lo que habrá encontrado Pitágoras, que era místico?, ¿qué es lo que habrá encontrado Bertrand Russell, que es premio Nobel de Literatura?
GD: Newton, otro místico.
IO: Newton, otro místico... aunque Newton...
GD: Bueno estamos entrando en el tema de tu libro y eso vamos a hablar en el próximo bloque.
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GD: Estamos hablando de tu libro “La historia que vivieron los matemáticos”. Confieso que cuando empecé a leerlo creí encontrarme con un libro de matemáticas. En realidad, no, si bien es un libro de matemáticas, tiene otra óptica, en realidad, lo que está mostrando es el entorno de los grandes pensadores de matemática.
IO: Claro. A veces a mí me preguntan cuál es mi trabajo, a qué me dedico yo, en el supuesto de que yo me dedico a enseñar matemática ¿no?. Y yo iría un poco más allá; yo diría que yo me ocupo de ver qué le pasa a la gente con la matemática (que le pasan muchas cosas). Digamos, en cualquier charla, encuentro informal, con gente que no tiene nada que ver con la profesión, y uno habla de la matemática y de que la matemática puede ser algo placentero, algo agradable, siempre sale alguien que dice: “Ah, yo me la llevé todos los años”. Es decir, a todo el mundo le ha pasado algo con la matemática. Están los fanáticos, bueno, que somos un cierto diez por ciento de la población, que nos apasionamos, que nos encanta y qué se yo, y están los demás, que no han quedado indiferentes al lado de la matemática: hay mucha gente que ha sufrido con las cuentas de dividir y eso lo guarda como un recuerdo. O sea, que la matemática tiene algo que hace que a la gente le pasen cosas con ella. Este libro, La historia que vivieron los matemáticos, se trata de cómo vivieron su momento histórico los matemáticos, qué cosas de su entorno los motivaron su trabajo matemático y qué le devolvieron a su comunidad a través de su trabajo matemático. Lo que hablábamos hace un rato de que, bueno, la matemática mueve el mundo, o sea que tiene que ver con las cosas de todos los días, hasta las más elementales, bueno, ¿qué pasó?, estas obras de los matemáticos ¿qué le devolvieron a la historia, a la historia de la humanidad? En ese sentido, en este libro han sido buscado personajes claves, personajes que su obra matemática está motivada por razones políticas, por razones emocionales, por razones espirituales, por razones artísticas. Entonces este libro es una colección de historias que cuentan justamente, qué es lo que motivó a una cierta persona a trabajar en matemática y qué es lo que le devolvió. Hablábamos de Omar Kayyam, por ejemplo hace un ratito, hablábamos de Pitágoras, pero hay otros ejemplos mucho más recientes en la historia. Una persona que normalmente no la ligamos a la matemática como Bertrand Russell, ¿qué matemática hizo Bertrand Russell? Bertrand Russell, premio Nobel de Literatura, trabajó por el movimiento pacifista en forma muy comprometida, estuvo preso muchas veces, y este hombre, cuentan, que en un momento (el trabajaba en filosofía) fue a un congreso internacional y en ese congreso había algunos matemáticos que hablaron de sus trabajos y se fascinó con esta cosa de un lenguaje tan fácil de manejar para llegar a conclusiones como el lenguaje matemático: su claridad, su precisión, su lógica estricta. Entonces tuvo la intuición que usar ese lenguaje le podía servir para la filosofía. Y así fue como empezó a aprender matemática. ¿Qué es lo que pasó cuando empezó a aprender matemática? Parece que se fascinó...
GD: ...estaba dentro del diez por ciento de los fanáticos...
IO: ...se convirtió en eso... Pero lo más impresionante es que finalmente su obra, que tiene que ver con la Teoría de los Conjuntos, a principios del siglo pasado, terminó siendo Filosofía de la Matemática, es decir, terminó siendo una parte de la filosofía que sustenta la Matemática. Es decir, así como Omar Kayyam se dedicó a cosas que tenían que ver con su motivación (el arte, las pasiones, la vida), este hombre que se dedicaba a la filosofía terminó haciendo Filosofía de la Matemática y aportándole un marco filosófico a la Matemática. Es decir, normalmente estamos acostumbrados a pensar en la matemática como números fríos, calculados, desapasionados, etcétera, sin embargo, la historia nos muestra que a través de las pasiones que mueven a cada persona se pueden involucrar con la matemática y encontrar herramientas para lo que ellos están haciendo.
GD: También dentro del ambiente de los matemáticos de esa época había muchos secretos, lo leí en tu libro, con respecto al tema de las fórmulas, revelar las cosas y competían por el tema de a ver quién fue el autor de esta teoría revolucionaria...
IO: Ah..... vos te estás refiriendo a Tartaglia y Cardano...
GD: Exactamente. Apostaban hasta dinero sobre quién resolvía primero los problemas, ciertos problemas, si era uno u otro y eran grandes apuestas de dinero.
IO: Así es. La historia de Tartaglia y Cardano, que es tan pintoresca porque los dos personajes son pintorescos, sería bastante largo de contar acá, se desarrolla en, podríamos pensar, en una de esas ciudades italianas cerradas, donde se entraba a una ciudad o se iba a otra ciudad. Los matemáticos plantaban desafíos, es decir, un matemático iba a otra ciudad... rebobinemos. Un matemático hacía un trabajo y encontraba una fórmula para resolver, por ejemplo, las ecuaciones de tercer grado, de segundo grado (en este caso eran las de tercer grado), encontraba la manera de resolverlas. Entonces iba a otra ciudad donde había un matemático famoso, importante, y entonces plantaba un desafío escrito en un bando en la pared desafiando a los matemáticos de esa ciudad a encontrar la fórmula que resolviera tal cosa ( sabiendo que él la había resuelto, o sea él la tenía la fórmula, pero los desafiaba a los otros a que la encontraran). Se depositaba un dinero y se daba un plazo de tiempo. En el marco de todos esos juegos (podríamos decir, que por supuesto se los tomaban muy en serio) se fueron desarrollando muchas cosas de la matemática. Este detalle tiene esta cosa de que uno se imagina los matemáticos muy en serio, el trabajo matemático parece muy en serio. Es serio, sí, pero está ligado con gente que también puede jugar y puede apostar dinero y todas esas cosas.
GD: Sí, como el cubo mágico ese que es sorprendente...
IO: ... el cuadrado mágico...
GD: ...el cuadrado mágico de Durero...
IO: ...el cuadrado mágico de Durero... A ver si podemos explicar un poquito de qué se trata. Hay gente que seguramente no sabe de qué se trata.
GD: Sí.
IO: El asunto es así...
GD: A todo esto, Durero un gran pintor, que también aplicó las matemáticas a su pintura porque hay una relación muy estrecha.
IO: A ver si podemos redondear un poco esta idea, de qué estamos hablando, porque bueno, nosotros dos ya vimos los dibujos y los grabados y ya sabemos de lo que estamos hablando. A ver si podemos contar un poquito.
GD: Es un cubo de cuatro por cuatro con...
IO: ... es un cuadrado...
GD: ...un cuadrado de cuatro por cuatro con números...
IO: ...claro, es un cuadro de números, pero esos números están vinculados muy especialmente. En principio, como es un cuadrado que tiene cuatro filas y cuatro columnas, termina teniendo 16 números. Esos 16 números, que en este caso son los números del 1 al 16.: 1, 2, 3, 4... hasta el 16) están dispuestos en el cuadrado de tal forma que hay un montón de cuentas que dan lo mismo, aparentemente mágicamente, porque uno mira y no sospecha eso. Lo increíble es que hay muchos cuadrados mágicos: más grandes más chicos, pero este cuadrado mágico en especial, que es conocido justamente como El cuadrado mágico de melancolía porque este grabado llama Melancolía, donde aparece ese cuadrado mágico, tiene muchísimas más particularidades que los cuadrados mágicos comunes, pero además tiene una particularidad muy especial: superponiendo el cuadrado mágico sobre la obra y trazando las líneas que van uniendo los números da una cosa así como de rayas y de figuras que nos dan un montón de pistas de cómo fue armado el grabado. Es decir, pareciera que el artista, Durero, no sólo hizo su obra artística, su grabado, que es maravilloso por otro lado, sino que además nos da en el costadito una pista matemática para poder terminar de comprenderlo.
GD: La verdad que es interesantísimo lo de Durero como el resto de los personajes estos matemáticos que tienen siempre esa relación con el arte. Y como vos dijiste alguna vez los matemáticos que se orientaron, que dejaron sacar de su interior la parte artística son los que lograron mayores descubrimientos. Siempre hay esa relación de abrir la mente y les permitió no ser estructurados y avanzar más lejos.
IO: Claro. En realidad, hay matemáticos que han avanzado muchísimo pero en realidad, yo acomodaría un poco lo que vos decís. El matemático, que tiene que comprender su realidad para encontrar las fórmulas que resuelvan los problemas de todos los días, está tan absolutamente ligado a su realidad que muy posiblemente, muy probablemente y casi siempre, tiene además una percepción artística de las cosas. Es decir, esa misma amplitud que tiene para comprender y sacar las fórmulas que resuelvan los problemas (comprender el mundo, las cosas de todos los días), esa misma amplitud hace que tenga espacio para ver las cosas artísticamente y para hacer arte y para usar el arte para comprender el mundo.
Isabel ORTEGA, Profesora de Matemática y Cosmografía, es escritora científica especializada en el desarrollo de materiales didácticos.

lunes, 6 de octubre de 2014

La matemática es un lenguaje

Cuando la clase de matemática se convierte en la enseñanza de las cuentas y otros algoritmos, es decir, al perderse la ilación entre los hechos concretos y el contenido de la clase de matemática, los saberes que se adquieren en el aula empiezan a recorrer un camino paralelo a la realidad de todos los días. Aquí me referiré a cuestiones de lenguaje que se derivan del esfuerzo docente por conseguir que sus alumnos resuelvan cuestiones matemáticas "a toda costa". 

Con sólo recorrer los manuales de matemática encontramos un montón de recetas que, tomadas al pie de la letra, alejan al estudiante del verdadero significado que tienen los conceptos matemáticos. Esto sin contar las maneras de decir  transmitidas por lenguaje oral de generación en generación. 
Invito a los maestros y profesores de matemática a reflexionar sobre lo que decimos en clase. 
Esta es una breve lista cuyo análisis dejo al criterio del lector. 

ü  En la cuenta de restar: "Le pido prestado uno al compañero"
ü  En la cuenta de dividir: "2 dividido 3 no se puede (o no le está), entonces pongo un cero.
ü  "Completamos con ceros"
ü  "La superficie del rectángulo es base por altura"
ü  "Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par"
ü  "La división de decimales se resuelve como la de enteros pero se corre la coma"
ü  "Para sumar dos fracciones de igual denominador se suman los numeradores de los sumandos"
ü  "La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 2 rectos, por la cantidad de lados menos 2"
ü  "Los ángulos de un triángulo"

viernes, 3 de octubre de 2014

Al derecho y al revés. Números capicúa


Estos números son capicúas porque aunque los leas de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, son iguales.


91219                     20302                     535                   41355314

  • El año 2002, fue capicúa. ¿Cuánto tendremos que esperar para que hay otro año capicúa?

  • ¿Qué día fue capicúa en el año 2003?

  • ¿Qué día fue capicúa en 2004?


  • Mi hermanita cumple los años el 15 de marzo. ¿Cuándo tendrá su próximo cumpleaños capicúa?

Ah, pero si los escribimos con números romanos, ya no son capicúas. Si no lo creés mirá:

2002         se escribe MMII
121     se escribe CXXI

  • ¿Cuáles son los números capicúa, escritos en el sistema romano, menor que 20?

jueves, 2 de octubre de 2014

Polinomios en Secundaria


¿Cómo hacer para que lo que uno enseña sea prendido por los estudiantes?

Como cada estudiante construye su propio conocimiento el punto de partida del trabajo docente es enterarse de esas construcciones, tantas como alumnos hay en una clase.

Esta pregunta y el análisis detallado de sus respuestas puede ser un buen punto de partida.

¿Qué relaciones conocés entre los polinomios y las funciones polinómicas?

Las respuestas de los estudiantes, que darán por escrito para que las podamos aprovechar mejor, estarán seguramente salpicadas de errores, imprecisiones, detalles dudosos, etcétera. Éstos aspectos son lo más valiosos porque son el insumo imprescindible para preparar la clase.

Administrar estas evaluaciones es muy diferente de tomar examen. No solo porque no tiene como objetivo calificar sino también porque cuando hacemos esta clase de preguntas abiertas NO sabemos qué van a contestar los chicos. Esta última característica las hace valiosas y se requiere que el profe tenga una actitud de aprender en lugar de enseñar.




miércoles, 1 de octubre de 2014

Enseñar a medir en secundaria

¿Qué saben de la medida los adolescentes de nuestra clase de matemática?



Los chicos de secundaria ya asistieron a muchas clases de matemática donde "aprendieron" a medir o por lo menos eso dicen sus maestros de primaria... pero, ¿qué saben en realidad?


  • ¿Saben en qué consiste el hecho de medir en una acción concreta?
  • ¿Distinguen las magnitudes a medir?
  • ¿Conocen las unidades de cada magnitud y sus relaciones?
  • ¿Pueden calcular con medidas?
  • ¿Diferencian el acto de medir del cálculo con medidas?
  • ¿Son capaces de resolver problemas que involucran medidas?
Para explorar lo que construyeron nuestros estudiantes en nuestras clases de matemática y en las anteriores les propongo llevar a clase esta pregunta que, aunque parezca inocente, en mi experiencia ha sido el comienzo de un fecundo trabajo con adolescentes.


¿Qué es un centímetro cuadrado?

Les recomiendo plantear la pregunta como como aparece en la consigna, es decir, sin hacer referencia a la escritura simbólica ni referencia alguna excepto el sonido del significante "centímetro cuadrado", esto tiene como intensión evocar en el imaginario de los adolescentes recuerdos de años anteriores y también vicios que se han filtrado al archivar lo que han escuchado en las clases de matemática a las que asistieron.

El verdadero potencial de esta actividad reside en la escucha atenta, la lectura entre líneas que pueda hacer el docente de las respuestas (disparatadas en su mayoría, a no dudarlo) que devuelvan los chicos. Con todo ese material podremos tener una visión más realista de los aprendizajes con los que trabajaremos en nuestra clase.

martes, 30 de setiembre de 2014

Los números según los adolescentes


¿Qué son los números para un adolescente de las aulas donde enseñamos matemática?

Los profes de matemática enseñamos los números en clase. Lo venimos haciendo hace años, pero, 

  • ¿qué aprendieron los estudiantes?,
  • ¿conocen los números?,
  • ¿qué significan para ellos palabras como pares, primos, reales, etcétera?,
  • en resumen: ¿sabemos los docentes qué hicieron los chicos con lo que les enseñamos?
Para explorar lo que construyeron nuestros estudiantes en nuestras clases de matemática les propongo llevar a clase esta pregunta que, aunque parezca inocente, en mi experiencia ha sido el comienzo de un fecundo trabajo con adolescentes.


¿Qué clase de números conocés?

Les propongo pedir a los chicos que la contesten por escrito porque así no se perderá nada de lo que digan. Es probable que el docente consiga así un valioso material para leer atentamente, es decir:

  • observar cómo escriben, 
  • qué escriben,
  • qué no escriben,
  • qué dicen,
  • qué no dicen,
  • qué habrán querido decir, etcétera.

lunes, 29 de setiembre de 2014

Matemática para jóvenes de 15 años

¿Qué recursos tienen nuestros estudiantes de 15 años para calcular?

Con esta pregunta se abre la posibilidad de ver, escuchar, observar los caminos que sigue un adolescente para resolver un cálculo, qué herramientas tiene, qué sabe, qué no sabe y qué aprendizajes tiene a medio construir.

Inventá un cálculo con el número 1,23456789 y que tenga como resultado 41,2.

Lo que interesa en esta consigna no es tanto el resultado final como el proceso que desplegará lo que saben, lo que no saben, los prejuicios, los inventos, los errores, lo que hagan con los errores, de cada estudiante.

El maestro tiene que estar preparado para atender a cada chico en particular para no perderse nada. De mi experiencia con esta consigna en el aula recomiendo observar en cada joven por separado y tomar nota.

  • ¿Se desconcierta? Si es así: ¿qué hace a partir del desconcierto? ¿Considera la posibilidad de darse por vencido?
  • ¿Recurre a la calculadora? ¿Advierte que la cantidad de cifras del número no permite ingresarlo a la calculadora? ¿Qué hace con ese dilema? ¿Se maneja con aproximaciones? ¿Tiene criterio para decidir si es pertinente una aproximación?
  • ¿Usa lápiz y papel para anotar? ¿Borra o tacha? ¿Qué hace con el papel que se va llenando de anotaciones?
  • ¿Conoce los algoritmos para recurrir a ellos?
  • ¿Domina los números decimales?
  • ¿Qué idea tiene del sistema de numeración?
  • Considera obtener más de un cálculo que cumpla la consigna?
Si algún docente se hace eco de esta propuesta, agradecería que comenten acá los resultados de la experiencia para seguir compartiendo.

Isabel Ortega