viernes, 18 de julio de 2014

El sentido de la matemática escolar


Los maestros de Matemática solemos ser fanáticos de la Ciencia de los Números y admiramos la belleza de su estructura lógica. Desde siempre se ha vinculado a la matemática con el razonamiento, el rigor científico y la deducción que no deja cabo suelto. Tenemos claro que para hacer matemática hay que razonar y cuando alentamos a nuestros alumnos solemos decir pensá, razoná.
Es por eso que me gustaría reflexionar sobre algunas cosas que pasan en la escuela y más específicamente en el aula de matemática.
Pitágoras y el sistema de numeración
Pitágoras (572-500 A. C.) fue un gran matemático griego de la antigüedad. ¿Quién no conoce a Pitágoras, sobre todo por su famoso teorema? Pero acá nos referiremos a la manera que tenía de pensar los números y los cálculos.
Resulta que el sistema de numeración más antiguo de los griegos consistía solamente en asignar valores numéricos a las letras del alfabeto: a era uno, b era dos, c, tres, d, cuatro, y así sucesivamente. Como podrán imaginarse, este sistema es absolutamente inútil a la hora de calcular, es decir, de hacer las cuentas.
Así podemos suponer que en esa época, los cálculos se hacían teniendo las cantidades a la vista, es decir, que para sumar cuatro más cinco, por ejemplo, se tenían a mano un montón de cuatro piedras y otro de cinco para, finalmente, juntarlos y volver a contar todas las piedritas y saber así cuántas había en total
Por otra parte, los griegos antiguos avanzaron mucho en el desarrollo de la geometría. Tan es así que se los llama los creadores de la ciencia, porque propusieron postulados y demostraron teoremas que fueron la base de las matemáticas.

Y acá lo tenemos a Pitágoras, básicamente filósofo y místico, con sólidos conocimientos sobre las figuras geométricas, sosteniendo que el número es la esencia de todas las cosas, y teniendo que recurrir a los montones de piedras para calcular. Con estos datos es posible imaginar los motivos que tuvo Pitágoras para trabajar la aritmética disponiendo de cantidades de piedritas en formas geométricas.
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   9                               6                                6
Número cuadrado           Número triangular           Número rectangular

Números cuadrados
Pitágoras llamó cuadrados a estos números, es decir, a estas cantidades de piedritas. Él lo hacía simplemente porque evocaban la forma de un cuadrado.

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El asunto es cómo llegó a nosotros esta idea. Veamos un ejemplo.

A este número cuadrado nosotros lo llamamos veinticinco. ¿Por qué? Porque, como nuestro sistema de numeración es decimal, para contar esa cantidad de piedritas vamos armando decenas (montones de diez). Este número cuadrado tiene dos decenas y sobran 5 unidades sueltas. A esto lo llamamos 25.

Además, como el número cuadrado 25, tiene 5 piedritas de ancho y 5 de alto, 25 es el resultado de multiplicar 5 por 5.
25 = 5 x 5
Como esta multiplicación tiene dos factores (números que se multiplican) iguales: 5 y 5, se suele reemplazar esa multiplicación por una potencia en la que la base es 5 (el número que se multiplica) y el exponente es 2 (la cantidad de veces que se multiplica).
25 = 52
En resumen, cuando explicamos que cinco al cuadrado es veinticinco con lo escrito en el renglón anterior, nadie puede imaginarse que estos cuadrados tiene que ver con los cuadrados de la geometría. Esto es lo suficientemente grave como para que los chicos ante explicaciones (¿explicaciones?) de ese tenor, salgan con su famoso: “¿Y esto para qué sirve?”
En realidad, si de enseñar y aprender se trata, la estructura lógica de la matemática está en condiciones de asegurar que todos los contenidos sirven para algo y cuando en clase esas conexiones no quedan en evidencia, casi siempre de debe a que faltan pasos en la deducción.
Cosas que pasan en la escuela
Esta cuestión de los números cuadrados es un ejemplo de lo que hace “la maquinaria escolar” con los contenidos matemáticos. Toma lo que produce un matemático (en este caso Pitágoras), desecha casi todo el sentido común que usó para construirlo, se queda con la fórmula final y pretende que los chicos lo aprendan y lo usen. Pero el asunto va más allá: nosotros mismos, docentes de hoy, también recibimos la matemática de la misma manera en nuestro paso por la escuela como alumnos. Y nuestros maestros, casi seguramente, también. La “maquinaria escolar” consigue, de esta forma, transmitir la idea de que las matemáticas tienen coherencia, solamente al alcance de los matemáticos.
¿Y si los maestros de matemática nos replanteamos el sentido de cada tema que llevamos a la escuela?

lunes, 7 de julio de 2014

Las preguntas de los estudiantes


Este fin de semana publiqué para mis colegas docentes de matemática.
¿Cómo se hace? ¿Por qué es así? ¿Cuál de estas dos preguntas es más frecuente, en boca de los estudiantes, en las aulas de Matemática que usted frecuenta?
Así colaboraron:

Ana Espin Cómo se hace??????? Sobre todo en el examen jajajajajaja

Thunderbird Tbird Puedo sacar calculadora? Puedo usar el wolfram?

Yanina Ancamil Por que haci? En mi caso como alumna.

Ana Espin Solo hay dos preguntas. Cual de las dos? ????

Matthus Allen ¿Porqué es así..?, otra más que no está en la lista es ¿para qué me sirve saber eso...?

Silvia Trovarelli el ¿cómo se hace? implica preguntar acerca de un algoritmo mecánico, que en muchos casos significa averiguar los pasos sin querer interpretar el sentido del procedimiento. Cumplir con un requerimiento de "la profesora" porque "es así". Lo peligroso es que "la profesora" o "el profesor" se conforme con eso.

Matematica Clara Nueva Es muy común Matthus Allen esa pregunta. Con los años de aula y el avance de la investigación he llegado a una conclusión respecto de esa pregunta. Me parece que lo que quieren preguntar es "¿Con qué tiene que ver eso que me dice?" Es que los profes de matemática solemos entrar al aula y empezar la clase diciendo: polinomios (o cosenos de un ángulo, o logaritmo de un número, o lo que sea, sin molestarnos en partir de lo que saben los estudiantes. En ese momento aparece alguien que dice: ¿para qué me sirve saber eso...? ¿Te fijaste que si empezamos a hablarles de las aplicaciones que tienen los "dichosos" polinomios, o lo que sea, el que hizo la pregunta tampoco se siente contestado?

Matematica Clara Nueva Yanina Ancamil, la pregunta más frecuente es ¿Cómo se hace? porque la gran mayoría de las clases de matemática actuales van convenciendo a los estudiantes que la matemática es solo una colección de fórmulas salidas de la boca del profe. Cada vez hay menos lugar para trabajar la ciencia matemática, es decir, la deducción de conclusiones. Gracias por tu pregunta.

Matthus Allen Has tocado un punto clave, gracias por tu comentario, es muy valioso, tiene toda la verdad... mil gracias...!

Matematica Clara Nueva Y gracias vos Matthus Allen por decírmelo!


miércoles, 2 de julio de 2014

Aprender los números. Contar y contar

Comprender para qué sirve contar es el punto de partida de una explosión de invenciones numéricas. Saber contar es el “cuchillo de campaña” de la aritmética, el instrumento que los niños prestan a muchos usos. Una vez que saben contar, la mayoría de los niños encuentra la manera de sumar y restar números sin necesidad de una enseñanza sistemática.

Estas palabras pertenecen a Stanislas Dehaene y aparecen en su libro The number sense. How the mind creates mathematics. (El sentido numérico) Published by Penguin Group. 1997. London. England.


Volverse experto en contar
Los niños naturalmente usan el contar como herramienta de cálculo pero también como juego, porque contando se sienten seguros con los resultados de sus cálculos. En toda la escolaridad se puede estimular la destreza de contar; sin embargo, en el Nivel Inicial y en el Primer Ciclo, hay que prestar especial atención a los espacios que se brindan a los chicos y las chicas para construir su destreza para cantar.
Hay otra cuestión que me interesa ventilar acá. Se trata del prestigio intelectual que se le confiere por lo general en la escuela al contar. Muchas veces se piensa que una verdadera actividad matemática es la que se lleva a cabo leyendo y escribiendo con símbolos matemáticos. En cambio, contar uno por uno para calcular, contar con los dedos, dibujar para ir contando al calcular, tener las cantidades a la vista con la finalidad de contar como recurso de cálculo, suelen ser mal vistos en la escuela.
El texto que aparece más arriba da por tierra ese prejuicio y nos invita a detenernos en el valor matemático del acto de contar. En realidad, lo que está diciendo, es que los que calculan mentalmente lo hacen sobre la base de haber aprendido a fuerza de mucho contar. Cuando un nene o una nena se enfrentan a un cálculo habría que reemplazar la indicación de “pensá, nene, pensá” por “contá”. En el acto de contar los niños piensan sin frustrarse y así están en las mejores condiciones de aprender.
A medida que las actividades de conteo sean más complejas los chicos irán anotando para no perderse y eso dará naturalmente como resultado la aparición de los símbolos matemáticos.
Por eso me parece que el contar siempre es bienvenido en la clase de Matemática.
Salir a contar
El acto de contar puede convertirse en una fiesta y puede proporcionar a los chicos ricas oportunidades de conocer los números. Digo conocer porque aunque un nene de 9 años seguramente puede calcular con números como 1405, gracias a los algoritmos que aprendió en la escuela, rara vez ha tenido la experiencia de contar 1405 objetos y empezar a dimensionar de qué cantidad se trata.
  • Contar las baldosas del patio de la escuela, de la vereda de mi casa, del salón de clases., etcétera, es una rica actividad que permite conectarse con cantidades grandes y también propicia el diseño de estrategias de cálculo y de notación matemática.
  • Contar cuántos cuadernos hay en el aula, en la escuela. Cuántas ventanas tiene el edificio de la escuela, cuántas puertas, etcétera.
  • Contar cuántos centímetros cuadrados de superficie tiene el pizarrón del aula haciendo cuadros de a 100 con la tiza, o de a mil, o de a diez mil.
  • ¿Cuántas flores tiene el vestido? ¿Cuántos lunares tiene el papel de forrar? ¿Cuántos primos tienen entre todos los chicos del aula?
  • Introducir en la rutina del aula la tarea de contar y darle estatus científico permitirá a los chicos caminar más seguros en la construcción del aprendizaje de la matemática, y al docente, comprender los infinitas matices con que sus alumnos construyen sus saberes.

martes, 24 de junio de 2014

Coherencias matemáticas


Es sabido que la multiplicación encierra una suma, por ejemplo, 
3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3   
y también
3 x 5 = 5 + 5 + 5      por eso suele decirse que la multiplicación es una suma abreviada.
Además, la resta es la operación inversa de la suma así como la división es la inversa de la multiplicación.

Pregunto: ¿será la división una resta abreviada? ¿Cómo sería?

El Chino dice:
Si tenemos presente que en todo proceso de división entera obtenemos 2 resultados (el cociente y el resto) podemos llegar a visualizar al cociente como la cantidad de veces que podemos restar un número de otro y como su nombre indica al resto a lo que nos queda después de esas restas.
Un Ejemplo:
Si tenemos 14 bolsas de lo que sea y podemos ir retirándolas sólo en grupos de 4, le restamos a 14, grupos de 4 y tendríamos:
1) 14-4=10;
2) 10-4=6;
3) 6-4=2
De donde resulta que el cociente es 3 (pudimos retirar sólo 3 veces el 4 de 14) y nos queda 2 bolsa (que no podemos retirar por no formar un grupo de 4) siendo este el resto.
Es una forma distinta de ver la división.
Muy buena la página, espero visitarte más seguido.

Isabel Ortega dice:
Gracias Chino………. ¿Te parece que esta idea se puede extender a números racionales?

lunes, 23 de junio de 2014

Matemática para chicos en casa


Acá va una actividad para los chicos que están en casa. Escaneen billetes y monedas (o hagan fotocopias, o dibujos caseros) y jueguen a comprar y vender. Los más grandes pueden ayudar a los más chicos a hacer los cálculos para que nadie se quede con lo que no es suyo.


Busquen cosas para comprar y vender en la cocina, en el placard, en el galponcito del fondo y así. Pongan el precio escrito en un papelito en cada producto. Alguien hace de vendedor, otro de cajero y los demás de clientes. Repartan plata entre los que harán de clientes y ya.
Este juego requiere dos cosas de la dedicación de los adultos. Una es el espacio para desplegar juguetes; jugar a comprar y vender con  materiales ocupa bastante espacio.  La otra es la actitud para disfrutar de los chicos cuando  juegan,  se ensucian, aprenden, imaginan, inventan, se divierten, etcétera, etcétera.
Esta actividad es una buena ocasión para “escuchar” a los chicos y enterarse cómo calculan, cuánto saben de matemática y cuánto deben aprender todavía. No se tienten a intervenir que entre ellos van a aprender sus propios procedimientos.





sábado, 21 de junio de 2014

Fracciones: un aporte de Zulema


Mi amiga y genia de la música (entre tantos otros saberes con los que cuenta y comparte) Zulema Noli, me regaló ayer este aporte a la conocimiento claro de las fracciones. Todo suma a la comprensión cuando compartimos visiones de un concepto matemático. Es sabido que cada persona construye un significado para los significantes que circulan por su cultura. Así, el significado de fracción es ligeramente diferente para cada persona que, sin duda, da vida a ese significante de significados que construye con su propia colección de modelos. Esta manera de concebir el aprendizaje puede transformar nuestra escuela, tan desafortunadamente inclinada a sacralizar lo que dice el docente.
Pero vayamos al regalo de Zulema. 
Dijo León Tolstoi:
“Un hombre es como una fracción cuyo numerador es lo que es y cuyo denominador es lo que él piensa que es. Cuanto más grande es el denominador más pequeña es la fracción”
Espero que te guste mi contribución a la matemática.

¡Gracias Zule!