jueves, 18 de septiembre de 2014

Distancia entre dos puntos


La distancia matemática entre dos puntos es el segmento que los une.
Estos son dos puntos geométricos:

El segmento AB es la distancia entre los puntos A y B.
Dados un punto que llamaremos centro y una distancia que llamaremos radio,
  llamaremos circunferencia al conjunto de todos los puntos cuya distancia al centre sea igual al radio.



Esta es la circunferencia de centro C y radio r.
Circunferencia (C , r)
Todos sus puntos están a igual distancia de C. Esa distancia es igual a r.
Y a propósito de distancias…

Uno de los puntos marcados en el dibujo es interior a la circunferencia.
Otro es exterior.
El tercero pertenece a la circunferencia.

I es interior a la circunferencia porque su distancia al centro es menor que el radio.
E es exterior a la circunferencia porque su distancia al centro es mayor que el radio.
P pertenece a la circunferencia porque su distancia al centro es igual que el radio.

Cada circunferencia clasifica a los puntos del plano en el que está incluida en tres clases:
  • la de los puntos interiores,
  • la de los puntos exteriores y
  • la de los puntos de la circunferencia.
En celeste, la región de los puntos interiores.
En azul, la región de los puntos exteriores.
En rojo, los puntos de la circunferencia.

El centro de la circunferencia es interior porque su distancia al centro es menor que el radio.
Esto parece un detalle menor pero no lo es tanto porque tiene una consecuencia. Como el centro es interior a la circunferencia entonces no pertenece a ella. Esto lo aclaro porque la escuela se ha encargado, durante décadas, de dibujar casi todas las circunferencias con su radio marcado desde el centro y también el centro.
Como los manuales también han adoptado esta práctica, los estudiantes no conciben el radio fuera de la circunferencia, por decirlo de alguna manera. Y han construida además la idea de que el centro es parte de la circunferencia. Esto no es posible porque, al ser interior a la circunferencia, nunca pertenece a ella.
Otro detalle: en el lenguaje coloquial adentro, interior, que le pertenece, pueden tomarse como sinónimos. En cuanto a los puntos interiores a una circunferencia, los significados son bien diferentes. Me parece importante que el maestro de matemática tenga para sí la convicción de acompañar a la construcción de significados matemáticos que derivan de las definiciones, aún para significantes muy usados en el lenguaje coloquial.

http://isacalcula.blogspot.com.ar/2014/04/la-distancia-entre-dos-puntos-es-el.html

Como pasa en toda ciencia el lenguaje es primordial. Una confusión que aparece muy a menudo consiste en dejarse llevar por el significado de las palabras usadas, pero sin el rigor necesario. Por ejemplo, la palabra teoría, es percibida generalmente como algo que debe ser demostrado, o sea cómo una hipótesis. Una teoría es un conjunto de leyes y principios, que constituyen el mejor modelo para explicar un fenómeno. En física, palabras como: momento, energía, potencia, trabajo, impulso, etc; tienen diferente significado en el lenguaje común al de la ciencia. En matemática, con palabras como: derivar, distribuir, despejar, entorno, límite, valor absoluto, coma, irracionales, reales, etc; pasa algo parecido.


Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, nítidamente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia.

lunes, 15 de septiembre de 2014

Distancia entre un punto y una recta


La distancia entre un punto y una recta es el segmento de perpendicular comprendido entre ese punto y esa recta.



http://isacalcula.blogspot.com.ar/2014/04/la-distancia-entre-dos-puntos-es-el.html
·         Se desprende de la definición, que la distancia es el menor segmento que existe entre ese punto y uno de la recta. Esto se puede demostrar con un teorema. 

·         La altura de un triángulo es la distancia entre un vértice de ese triángulo y la recta que contiene al lado opuesto a ese vértice.



·         Las posiciones de una recta con respecto a una circunferencia también tienen que ver con la distancia.


viernes, 12 de septiembre de 2014

Para no frustrarse con la matemática


Frustrarse con la matemática parece muy común, a juzgar por las experiencias que los lectores relatan en este blog.
Unos pocos disfrutan y juegan con la matemática mientras que la inmensa mayoría de los mortales se frustran con ella. Es la historia de toda la vida. Los chicos se frustran, los maestros se frustran, los directivos también y los padres, ni hablar.
Desde este blog Matemática Clara pretendo abrir otro panorama. Creo que si la matemática es comunicada claramente cada uno razona por su cuenta, con su propio sentido común, y puede avanzar y no frustrarse.
Se me dirá que hay gente más dotada para matemática que otros. Y yo invito a esas personas a observar en cuánto tiempo real las nuevas generaciones se están apropiando de la tecnología. Si un niño se apropia desde la cuna del manejo de aparatos tan sofisticados sin la mediación de maestro alguno, ¿cómo es posible que ½ + ⅓ sea un misterio durante años y se llegue a la adultez sin haberlo incorporado a las ideas de todos los días?
Podemos soñar con que nuestros estudiantes se apropien de la matemática, que la hagan suya, como lo hacen con los celulares y tantas otras maquinitas que usan todos los días. ¿Qué les parece? Invito a los lectores, ya sean estudiantes, maestros (de cualquier nivel) o familiares de los chicos, a proponer acá alguna cosa que les gustaría aclarar de la matemática.
Estamos empezando un nuevo año escolar en Argentina. Podemos comenzar con otra mirada sobre el enseñar y el aprender de la matemática. Menos frustrante. Más satisfactoria. Para eso ofrezco aclarar. ¿Qué te gustaría aclarar, lector, sobre la matemática?
Los espero.

Isabel Ortega

jueves, 11 de septiembre de 2014

Día del Maestro


En este Día del Maestro (y de la Maestra) quiero hacer llegar mi saludo a todos los maestros en general y los maestros de matemática en particular.
Como formadora de maestros les deseo que puedan, con su ejemplo, enseñar (mostrar) a sus alumnos que la matemática es una ciencia apasionante que vale la pena conocer y disfrutar.

¡Feliz día del Maestro!

lunes, 8 de septiembre de 2014

Enseñar (y aprender) geometría

La geometría en clase
Los que hemos transitado las aulas sabemos que la Geometría no tiene demasiado espacio en las clases de Matemática. En realidad, es un círculo vicioso porque, como no se aprende mucha Geometría en la escuela, ni tampoco, generalmente en la carrera docente, los que se reciben de maestros y profesores terminan perpetuando el ciclo cuando, en sus clases, evitan incorporar a la Geometría.
La Geometría y la medida
Otra tendencia actual, que se aprecia también en los libros de texto, es reducir lasactividades de Geometría a los problemas de cálculo de superficies, volúmenes, amplitudes angulares y longitudes. En este artículo quiero referirme a otra cuestión que, me parece a mí, es muy importante en la construcción de los conceptos geométricos. Se trata de conocer las características de las formas geométricas y sus relaciones, independientemente del cálculo de medidas.
Conocer las figuras geométricas
En Segundo ciclo pueden faltar las clases de Geometría en las que se exploren las figuras geométricas, las líneas, los cuerpos. Dibujar, recortar, pegar, modelar con crealina o platilina, pueden llevar a los chicos a hacerse amigos de las cuestiones geométricas.
Con jabón blanco, ese de lavar ropa, se pueden modelar cuerpos geométricos usando cuchillo u otras herramientas domésticas. El modelado en jabón, en plastilina, en crealina, tienen que preceder a los trabajos en cartulina en base a lo que se llama desarrollo de los cuerpos. Esto es importante porque los chicos tienen que quedarse con la idea de que los cuerpos geométricos son macizos y que el desarrollo es simplemente para calcular la superficie.
El papel
El papel ideal para dibujar en la clase de Geometría es, sin duda, el papel liso, sin renglones ni cuadriculado. Las hojas blancas que se usan para la impresora suelen ser de mucha utilidad en la clase de Matemática. También es importante trabajar con hojas de cartulina, de papel afiche y de papel madera porque en ellas se logran grandes dibujos que trascienden la hoja de la carpeta o el cuaderno.
Para llevar a clase

  • Dibujá un rombo que tenga sus lados de la misma medida que éste pero su diagonal mayor un poco más grande.
  • Dibujá un cuadrado que tenga su diagonal más grande que la de éste.
  • Dibujá un trapecio que tenga sus diagonales más chicas que las diagonales de éste.
  • Dibujá un paralelogramo que tenga sus lados iguales a los de la figura pero tenga un ángulo interior recto.

  • Dibujá un cilindro que tenga una altura mayor que la de éste.
  • Dibujá un cilindro que tenga el radio de la base menor que éste.


Anibal dice:

Isabel, como siempre buenísimo el artículo. Mientras lo leía me acordé de algo que me pasó este año que pasó, en un curso de segundo del profesorado de matemática. Habíamos demostramos que el producto mixto de vectores coincide con el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores que intervienen en el producto. Como el paralelepípedo no es un cuerpo muy conocido tomé bastante tiempo para explicar en qué consistía. Trabajamos primero el caso de un rectángulo que cambia sus ángulos rectos por agudos y obtusos convirtiéndose en un paralelogramo. Ese mismo efecto en el espacio pero con un prisma rectángulo (caja de zapatos) daría origen al paralelepípedo. O sea llevando sus caras rectángulos a paralelogramos el cuerpo pasa de prisma a paralelepípedo. Todo lo acompañamos de dibujos en el pizarrón.
Cuando en general parecía que todos sabían de qué se trataba, una alumna (muy particular, es más grande que el resto y dice todo lo que le pasa por la cabeza) empezó a insistir en que no entendía. Todo el resto de la clase y yo, empezamos a esmerarnos en explicarle, hasta que al final dijo: no creo que pueda existir un cuerpo así. Le dije, creeme que existe, todos no reímos y la clase siguió adelante.
Cuando llegué a casa me puse a hacerlo en cartulina y no sin dificultad lo hice. A la clase siguiente lo llevé y nos volvimos a reír todos con la historia de que no existía.
Espero que les haya gustado la historia, me parece que el material vino en mi ayuda y es una herramienta que no podemos ignorar.
Saludos a todos
Aníbal

Isabel Ortega dice:

Me encantó la historia Anibal. Y me deja pensando, claro.
“No existir” es una expresión tristemente habitual en esta época, ¿viste? No hace falta que me extienda acá sobre el “no existís” que tanto escuchamos para descalificar, desafortunadamente. Ahora yo me pregunto, ¿a ese significado del “no existir” se referiría la estudiante de tu clase cuando consideraba a los paralelepípedos de tu explicación? Me lo pregunto por qué no acierto a dimensionar cuán lejos está su razonamiento de los clásicos teoremas de “existencia” de la Geometría. Los profesores que se reciben sin cursar las geometrías clásicas, ¿de qué Geometría hablarán a sus estudiantes?
Gracias por tu aporte Anibal, tan valioso como siempre.
Isabel


jueves, 4 de septiembre de 2014

Enseñar a calcular superficies

Enseñar a calcular superficies es un asunto difícil. Que los estudiantes aprendan es un poco más complicado aún.
La prueba está en que los chicos, aún los que aprueban sus exámenes calculando superficies, al cabo de un tiempo, olvidan cómo hacerlo. Pregunten ustedes lectores, a los adultos que conocen si recuerdan cómo calcular una superficie y podrán hacerse una idea del problema que nos ocupa acá.
Propongo la actividad que sigue para trabajar en el aula. Se llama El campo. En ella se ventilan cuestiones tales como:
  • Interpretación de dibujos hechos a escala.
  • Longitudes nombradas mediante sus medidas en Sistema Métrico Decimal.
  • Relaciones entre las unidades de medida de longitud y las de superficie.
  • Calculo de la superficie de un rectángulo del cual conocemos las medidas de sus lados,  y viceversa.
  • Medida de superficies nombradas en Sistema Métrico Decimal.
  • Medidas agrarias.
Hay muchas maneras de usar esta actividad en clase. Hay tantas como maestros, claro, porque la clase finalmente es un hecho de comunicación entre personas.
De todas ellas resaltaré dos que me parecen extremas en la gama de posibilidades que tiene la comunicación entre el que enseña y el que aprende.
  • Se puede proponer esta actividad para que cada estudiante la resuelva. Luego se revisen los resultados y ya.
  • Se puede proponer el trabajo en grupos y, mientras los estudiantes trabajen, el maestro ocuparse de hacer una escucha atenta. Escucha atenta significa no solo escuchar, también mirar, tomar nota, fotografiar, grabar en video, etcétera. Observar cómo se manejan con los números, con los trazados, con las medidas, con la calculadora, etcétera.
De la primera posibilidad se lograrán muchas cosas. Entre otras poner una calificación a cada alumno y tener un trabajo hecho en el cuaderno de clases.
De la segunda puede surgir un proceso en el que los estudiantes aprendan y el maestro también. Me refiero a que el docente conozca nuevas maneras de construir el conocimiento del cálculo de superficies, las maneras es esos estudiantes. No hay que olvidar que cada persona construye su propio conocimiento de una manera única y personal. Hay tantas maneras de aprender a calcular superficies como personas hay.
Es muy común creer que el maestro con mucha experiencia sabe mucho más de su materia. Es posible. Sin embargo me parece que, si capitalizó su experiencia en clase, sabe mucho de cómo la gente aprende su materia (o no la aprende).

martes, 2 de septiembre de 2014

Números pares. Chicos pensando


Este blog tiene algunos lectores especiales. Uno de ellos, el Dr. Federico Balaguer, ha tenido la gentileza de enviarme este texto que transcribo a continuación, que agradezco enormemente y que refleja el espíritu de este espacio en el que ponemos el acento en escuchar a los niños para aprender de ellos.
Isabel,
unos días después que me mandaste este mail, ocurrió algo (para mí) especial charlando con mis hijos. Lo puse en formato de relato, por ahí te animás y lo ponés en MatemáticaClara, después de las correcciones del caso.
Saludos, Federico
Matemática Clara: Pares entre hermanos.
Hace unas semanas atrás vi uno de esos momentos en los que se te ilumina la mente. Todo ocurrió mientras estaba llevando a mis dos hijos (uno de 8 años y el otro de 6 años) a un evento deportivo. El más chico le pregunta al más grande que eran los números pares. Aún hoy desconozco por qué necesitaba saber eso. La respuesta del pequeño profesor fue algo así: “Un número par es… viste cuando sumas un número con otro que es igual? Bueno el resultado es par”. Y un segundo después aclaró: “viste el número 3? bueno si sumas un 2 con otro 2 te da 4. Cuatro es par”. Por último le pregunto a su alumno si había entendido y el joven alumno respondió: “sssí”.
Usando mi “conocimiento” de los números pares que arrastro desde mis siete años, aclaré: “…eso que vos decís está muy bien, pero la definición de números pares es que son los números divisibles por dos”. Y aporte un ejemplo: “3 más 3 es 6. Y seis es un numero par”.
En ese momento entendí la que hoy creo es una definición más interesante de un número par. Un número es par si existe la manera de expresarlo como la suma de un número con si mismo. En este caso, 6 es par porque existe un número natural que sumado por si mismo da 6 (3+3=6)
Esto es otro ejemplo de esos subconjuntos de números que conviven dentro del conjunto de números naturales. Algunos de esos subconjuntos son:
Números pares. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que pueden ser expresados como una suma de un número natural consigo mismo.
Números impares. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que no pueden ser expresados como una suma de un número natural consigo mismo.
Números primos. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que solo son divisibles por el número 1 y si mismos.
Números perfectos. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. (6=1+2+3)
A mis hijos (todavía) no les hable de esto último, los felicité y agradecí por haberme hecho entender que son los números pares. Solo me llevo 33 años entender aquello que memoricé en segundo grado (cuando tenía 7)
–Federico Balaguer


¡Muchas gracias Federico! Y extendé mi agradecimiento a tus hijos.
Isabel